(코사인 유사도)코사인 유사도를 구하는데 왜 값이 -1 ~ 1 사이가 나오나요?

1. 코사인 유사도의 정의

코사인 유사도는 두 벡터 간의 각도를 기반으로 유사성을 측정합니다. 두 벡터 AAA와 BBB에 대해 코사인 유사도는 다음과 같이 정의됩니다:

 

 

• 분자: 두 벡터의 내적 (A⋅B).
• 분모: 두 벡터의 크기(노름)의 곱 (∣∣A∣∣⋅∣∣B∣∣).

코사인 유사도의 결과는 다음과 같이 코사인 함!수에 의해 결정됩니다:

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• θ(thetaθ): 두 벡터 사이의 각도.

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2. 코사인 함수의 특성

코사인 함수는 각도 θ(thetaθ)의 값에 따라 −1-1−1에서 111 사이의 값을 가집니다:

 

 

두 벡터 간 각도와 코사인 값의 관계:

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3. 코사인 유사도가 −1-1−1에서 111 사이인 이유

1. 벡터 내적과 각도:
   • 벡터 내적은 각도 θ(thetaθ)와 벡터 크기에 따라 다음과 같이 표현됩니다: 
     

     

   • 따라서 코사인 유사도는 다음과 같이 계산됩니다: 
     

     

     
     
     
2. 정규화:
   • 분모 ∣∣A∣∣⋅∣∣B∣∣ 는 벡터의 크기(노름)의 곱으로, 항상 양수입니다.
   • 결과적으로 코사인 유사도는 cos⁡(θ) 값과 동일하며, −1≤ cos⁡(θ) ≤1 범위를 갖습니다.

 

 

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4. 코사인 유사도의 값 해석

• 1:
  • 두 벡터가 완전히 동일한 방향.
  • 예: [1, 2, 3]와 [2, 4, 6] (스칼라 배).
• 0:
  • 두 벡터가 직교(서로 독립적)하여 관계가 없음.
  • 예: [1, 0]와 [0, 1].
• −1:
  • 두 벡터가 반대 방향.
  • 예: [1, 0]와 [-1, 0].

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5. 코사인 유사도의 특징

• 크기와 상관없이 방향성만 평가:
  • 두 벡터의 크기가 다르더라도, 방향이 같으면 높은 유사도로 평가.
  • 예: [1, 2, 3]와 [10, 20, 30]은 코사인 유사도가 1.
• 값이 −1 에서 1 사이에 제한:
  • 이 범위는 코사인 함수의 정의에 의해 결정.
  • 결과를 직관적으로 해석하기 쉬움.

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6. 코사인 유사도와 다른 유사도 지표 비교

특징코사인 유사도유클리드 거리

초점	방향성(각도)	두 점 간의 절대 거리
데이터 크기 민감도	크기 무시	크기 차이에 민감
희소 데이터 적합성	적합	적합하지 않음
값의 범위	−1-1−1에서 111	000에서 ∞\infty∞

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결론

코사인 유사도가 −1에서 1 사이 값을 가지는 이유는 코사인 함수 자체가 두 벡터 간의 각도에 따라 −1≤cos⁡(θ)≤1범위를 가지기 때문입니다. 이는 벡터 간 방향성을 측정하는 데 유용하며, 크기를 무시하고 유사도를 평가할 수 있는 효율적인 방법입니다.